Jednadžbu avion: kako napraviti? Vrste avion jednadžbe

Avion prostor može se definirati na različite načine (jednu točku i vektor, vektor i dva boda, tri boda, itd). To je s tim na umu, avion jednadžba mogu imati različite vrste. I pod određenim uslovima avion može biti paralelno, okomito, seku, itd Na ovoj i da će govoriti u ovom članku. Mi ćemo naučiti da opće jednadžbe aviona i ne samo to.

Normalan oblik jednadžbe

Pretpostavimo da postoji prostor R₃, koja ima pravougaoni koordinatni sistem XYZ. Ćemo definirati vektor &alfa, koji će biti objavljen od početne tačke O. Do kraja vektora &alfa nacrtati avion P koja je okomita na to.

Označavaju P u proizvoljnom trenutku Q = (x, y, z). Radijus vektor točke Q znak pismo str. U ovom vektor dužine &alfa iznosi p = I&i alfa-I = (cos&alfa, jer&beta, jer&gama).

Video: 13. Jednadžba linije u ravnini (formula)

To je jedinični vektor, koji je usmjeren na stranu, kao i vektor &alfa. &alfa, &i beta &gama - su uglovi koji se formiraju između vektora i pozitivnog smjera osi prostora x, y, z respektivno. Projekcija točke P na vektor Q je konstanta, koja je jednaka p (p) = p (p&ge-0).

Gore jednadžba ima smisla kada je p = 0. Jedini avion P u ovom slučaju, da pređe tačke O (&alfa = 0), koja je izvor, a jedinični vektor, izdat od tačke O će biti okomito na P, iako je njegova smjera, što znači da je vektor određuje do oznake. Prethodna jednadžba je naš avion P, izražen u vektorskom obliku. Ali s obzirom na njegove koordinate je:

P je jednaka ili veća od 0. Našli smo avion jednadžbe u normalnoj formi.

Opće jednačina

Ako je jednadžba u koordinatama pomnožiti bilo koji broj koji nije jednak nuli, dobivamo jednadžbu ekvivalent ovom koji definira vrlo avion. To će imati sljedeći obrazac:

Evo, A, B, C - je broj istovremeno različit od nule. Ova jednadžba naziva se jednadžba opšti oblik aviona.

Jednačine avione. Posebni slučajevi

Jednačina može generalno biti modifikovani sa dodatnim uvjetima. Razmotrimo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent je 0. To ukazuje na to da je avion paralelno sa unapred osu Ox. U ovom slučaju, oblik jednadžbe mijenja: Wu + Cz + D = 0.

Slično tome, oblik jednadžbe i da će varirati sa sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, jednadžba promjene Ax + Cz + D = 0, što bi ukazivalo na paralelizam na osi Oy.
• Drugo, ako je C = 0, jednadžba se pretvara u ax + by + D = 0, to jest o paralelno sa unapred osi Oz.
• Treće, ako je D = 0, jednadžba će se pojaviti kao Ax + By + Cz = 0, što bi značilo da je avion presijeca O (poreklo).
• Četvrto, ako je A = B = 0, jednadžba promjene Cz + D = 0, što će se pokazati paralelizam Oxy.
• Peto, ako je B = C = 0, jednadžba postaje Ax + D = 0, što znači da je avion paralelno Oyz.
• Šesto, ako je A = C = 0, jednadžba ima oblik Wu + D = 0, i.e. će izvještavati paralelizam OXZ.

Oblik jednadžbe u segmentima

U slučaju kada brojevi A, B, C, D različit od nule, oblik jednadžbe (0) može biti kako slijedi:

x / a + y / b + z / c = 1,

u kojoj je = -D / A, b = -D / B, C = -D / C.

Mi dobijamo kao rezultat jednadžbe aviona u komadima. Treba napomenuti da će ovaj avion seku x-osi na mjestu sa koordinatama (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), i Oz - (0,0, e).

S obzirom na jednadžbu x / a + y / b + z / c = 1, to nije teško vizualizirati plasman avion u odnosu na unapred koordinatnom sistemu.

Koordinate vektora normale

Vektora normale n na ravninu P ima koordinate koje su koeficijenti opće jednadžbe aviona, i.e. N (A, B, C).

U cilju utvrđivanja koordinata normalne n, dovoljno je znati opće jednadžbe dati avion.

Kada koristite jednadžbe u segmentima, koji ima oblik x / a + y / b + z / c = 1, kao kada se koristi opće jednadžbe se može pisati koordinate svakog normalnog vektora dati avion: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Treba napomenuti da je normalno vektor pomaganje pri rješavanju različitih problema. Najčešći problemi su koji se sastoji u proof okomito ili paralelno ravni, zadatak pronalaženja uglova između ravni ili uglovima između aviona i ravnih linija.

Tip prema avion jednadžbe i koordinate točke vektora normale

Nula vektor n, okomit na određeni avion, nazvan normalan (normalan) na predodređen avion.

Pretpostavimo da u koordinatnom prostoru (pravougaonog koordinatni sistem) Oxyz set:

• tačka M koordinata (x, y, z);
• nula vektor n = A * i + B * j + C * k.

Neophodno je da se izjednače avion, koji će se odvijati kroz M okomito na normalan n.

U prostoru biramo bilo proizvoljna tačka i označavaju M (x, y, z). Neka radijus vektor svake tačke M (x, y, z) biti r = x * i + y * j + z * k, a radijus vektor tačke M (x, y, z) - r = x * i + y * j + z * k. Poenta M će pripadati dati avion kada je vektor M je okomit na vektor M n. Pišemo stanje ortogonalnosti pomoću skalarnog proizvoda:

[M M, n] = 0.

Od M M = r-r, vektor jednadžba avion će izgledati ovako:

[R - r, n] = 0.

Ova jednačina može imati drugačiji oblik. Za tu svrhu, svojstva proizvoda skalar, i pretvoriti lijevoj strani jednadžbe. [R - r, n] = [r, n] - [r, n]. Ako je [r, n] označen kao e, dobivamo sljedeće jednadžbe: [r, n] - a = 0 ili [r, n] = e, koji izražava konstantnost projekcije na normalan vektor radijus-vektora datih tačaka koje pripadaju avion.

Sada možete dobiti koordinata tip snimanja avion naš vektor jednadžbu [r - r, n] = 0. Od r-r = (x-x) * i + (y-y) * j + (z-z) * k, i n = A * i + B * j + C * k, imamo:

Ispostavilo se da imamo jednadžbu se formira ravni koja prolazi kroz tačku okomito na normalu n:

A * (x-x) + B * (y-y) S * (z-z) = 0.

Tip prema avion jednadžbe i koordinate dva boda vektora avion kolinearne

Ćemo definirati dvije proizvoljne točke M `(h`, u`, z`) i M (x, y, z), a vektor a (A`, a, a).

Sada možemo napisati jednadžbu unapred ravni koja prolazi kroz postojeće tačke M `i M i M svake točke s koordinatama (x, y, z) paralelno dati vektor.

Tako M`M vektora {x-y-h` u`-zz`} i M = {x M - h` -u` y-z -z`} bi trebalo da bude coplanar sa vektor a = (a ', a, a), što znači da (M`M, MM, a) = 0.

Dakle, naš jednadžba avion u prostor će izgledati ovako:

Video: Predavanje 18: Vrste avion jednadžba

Tip aviona jednadžbe, prelazeći tri boda

Recimo da imamo tri točke: (h`, u`, z`), (x, y, z), (x, y, z), koji ne pripadaju istoj liniji. Potrebno je da napišete jednadžbu ravni koja prolazi kroz tri boda navedeno. teorija geometrije tvrdi da je ova vrsta avion ne postoji, to je samo jedan i jedini. Pošto je ovo avion presijeca tačke (h`, u`, z`), oblik svoje jednadžbe glasi:

Evo, A, B i C su različiti od nule u isto vrijeme. Također s obzirom avion presijeca još dva poena (x, y, z) i (x, y, z). S tim u vezi treba obaviti ovu vrstu uslova:

Sada možemo stvoriti jedinstveni sistem jednadžbe (linearno) nepoznat u, v, w:

U našem slučaju x, y ili z stoji proizvoljna tačka koja zadovoljava jednadžbu (1). S obzirom na jednadžbu (1) i sistem jednadžbi (2) i (3) sistem jednačina je prikazano na slici gore, vektor zadovoljava N (A, B, C), koji je netrivijalna. To je zato što je odrednica sistema je nula.

Jednadžba (1) koje imamo, ovo je jednadžba aviona. 3 point ona stvarno ide, a to je lako provjeriti. Da biste to učinili, mi proširiti determinanta elementima u prvom redu. Postojećih svojstava odredila slijedi da je naš avion istovremeno presijeca tri prvobitno određene tačke (h`, u`, z`), (x, y, z), (x, y, z). Pa smo odlučili da zadatak pred nama.

Dihedral ugao između ravni

Dihedral ugao je prostorna geometrijski oblik formira dva pola aviona koji proističu iz ravnoj liniji. Drugim riječima, dio prostora koji je ograničen na pola aviona.

Pretpostavimo da imamo dva avion sa sljedećim jednadžbe:

Mi znamo da je vektor N = (A, B, C) i N¹ - = (A¹-, The¹-, C¹-) prema unaprijed utvrđenim avioni su okomite. U vezi sa ovim uglom &filozofija između vektora N i N¹- jednak kut (Dihedral), koji se nalazi između ovih aviona. Skalarni proizvod je dao:

NN¹- = | N || N¹- | cos &filozofija,

Video: Video Tutorial "Jednadžbu avion po tri boda"

upravo zato

cos&filozofija = NN¹- / | N || N¹- | = (AA¹- + BB¹- + SS¹ -) / ((&radic- (A + B + C)) * (&radic- (A¹-) + (B¹-) + (C¹-))).

Dovoljno je uzeti u obzir da 0&LE-&filozofija&LE-&okviru pionira.

Zapravo dva aviona koji su se seku, oblik dva ugla (Dihedral): &filozofija₁ i &filozofija₂. Njihov zbroj jednak &okviru pionira (&filozofija₁+ &filozofija₂= &okviru pionira). Što se tiče njihove kosinuse, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali su različiti znakovi, odnosno cos &filozofija₁= -cos &filozofija₂. Ako se u jednadžbu (0) mijenja se A, B i C -A, -B i -C odnosno, jednačina dobijamo, će odrediti istoj ravni, jedini kut &filozofija u jednadžbu cos &filozofija = NN¹/ | N || N¹| To će biti zamijenjen &pi--&filozofija.

Jednadžbu okomitoj ravnini

Nazvan okomitoj ravnini, između kojih je ugao 90 stepeni. Koristeći materijal gore navedenih, jednačina aviona možemo naći okomito na druge. Pretpostavimo da imamo dva aviona: Ax + By + Cz + D = 0 i A¹-x + B¹-y + C¹-z + D = 0. Možemo reći da su ortogonalni ako cos&filozofija = 0. To znači da NN¹- = AA¹- + BB¹- + SS¹- = 0.

Jednadžbe paralelne ravni

To iz dva paralelna ravni koja ne sadrže dodirnih tačaka.

stanje paralelnim ravnima (Njihova jednadžbe su isti kao u prethodnom pasusu) je da su vektori N i N¹-, koji su okomito na njih, kolinearne. To znači da se sljedeći uvjeti su ispunjeni proporcionalnosti:

A / A¹- = I /¹- = C / C¹-.

Video: Video Tutorial "Normalan jednadžba aviona"

Ako su poboljšane uvjete proporcionalnosti - A / A¹- = I /¹- = C / C¹- = DD¹-,

to znači da je avion podaci istih. To znači da jednadžba ax + by + Cz + D = 0 i A¹-x + B¹-y + C¹-z + D¹- = 0 opisati jedan avion.

Udaljenost od tačke do aviona

Pretpostavimo da imamo avion P, koji se daje (0). Potrebno je da udaljenost od tačke sa koordinatama (x, y, z) = P , Morate donijeti jednadžbe u avionu II normalna pojava da bi se:

(&rho-, v) = p (p&ge-0).

U ovom slučaju, &rho- (x, y, z) je radijus vektor naše tačke Q, nalazi se na n p - n je dužina okomito, koji je pušten iz nulte točke, v - je jedinični vektor, koji je uređen u pravac.

razlika &rho--&rho-º- radijus vektor točke Q = (x, y, z), pripadaju n i radijus vektor date tačke Q₀= (X, y, z) je vektor veličina v u kojem je projekcije je udaljenost d, što je potrebno pronaći iz Q₀= (X, y, z) do P:

D = | (&rho--&rho-⁰,v) |, ali

(&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-, v) - (&rho-⁰,v) = p (&rho-⁰,v).

Tako se ispostavilo,

d = | (&rho-⁰,v) p |.

Sada je jasno da izračunati udaljenost D od Q₀ na avion P, potrebno je koristiti normalni oblik aviona jednadžbe, prelazak na lijevo od p, i posljednjem mjestu x, y, z zamjena (x, y, z).

Dakle, nalazimo apsolutnu vrijednost rezultira izraz koji je potreban d.

Pomoću parametara jezika, dobijamo očigledno:

d = | Ax + By + Cz | /&radic- (A + B + C).

Ako je navedenu točku Q₀ To je na drugoj strani aviona P kao porijekla, a zatim između vektora &rho--&rho-⁰ i v je tup ugao, dakle:

d = - (&rho--&rho-⁰,v) = (&rho-⁰,v) -p>0.

U slučaju kada tačka Q₀ zajedno sa porijekla koji se nalazi na istoj strani U, oštrim uglom se stvara, i to:

d = (&rho--&rho-⁰,v) = p - (&rho-⁰, v)>0.

Rezultat toga je da je u prvom slučaju (&rho-⁰,v)>p, drugi (&rho-⁰,v)<р.

I njegova tangenta avion jednadžbe

Koji se odnose na površinu avion u trenutku tangens Mº- - je avion koji sadrži sve moguće tangente na krivu izvući preko tog trenutka na površini.

Uz ove površine oblik jednadžbe F (x, y, z) = 0 u jednadžbu tangente avion tangenta tačke Mº- (xº-, uº-, zº-) će izgledati ovako:

F_x(xº-, uº-, zº -) (x-xº -) + F_x(xº-, uº-, zº -) (y yº -) + F_x(xº-, uº-, zº -) (z-zº -) = 0.

Ako je površina postavljena izričito z = f (x, y), onda je avion tangenta je opisan jednadžbom:

z-zº- = f (xº-, uº -) (x-xº -) + f (xº-, uº -) (y yº-).

Video: Video Tutorial "Opće jednadžba avion"

Raskrsnici dva aviona

The trodimenzionalnom prostoru je koordinatni sustav (pravokutnog) Oxyz, s obzirom na dva P` avion P i koji se seku ili poklapaju. Jer svaki avion, koji je u pravougaoni koordinatnom sistemu definisan opće jednadžbe, pretpostavimo da P` i n su dati jednadžbe A`h V`u + + S`z + D` = 0 i A x + B y + z + C D = 0. U ovom slučaju imamo normalan n` (A`, in`, S`) P` avion normalan n (A, B, C) avion n. Kao što je naš avion nisu paralelne i ne podudaraju, onda se ovi vektori nisu kolinearna. Koristeći jezik matematike, mi smo ovo stanje se može pisati kao: n`&zanemarujući n &harr- (A`, in`, S`) &zanemarujući (&lambda- * A&lambda- * B,&lambda- * C) &lambda- R. Neka prava linija koja se nalazi na križanju P` i P će biti označeni na slovo A, u ovom slučaju = P` &cap- II.

i - liniju koja se sastoji od mnoštva bodova (zajedničkih) P` i R aviona. To znači da koordinata bilo kojem trenutku pripadaju liniji a, moraju istovremeno zadovoljiti jednadžbu A`h V`u + + S`z + D` = 0 i A x + B y + C z + D = 0. To znači da se koordinate točke će biti poseban rješenje od sljedećih jednadžbi:

Rezultat je da je rješenje (ukupno) ovog sustava jednadžbi će odrediti koordinate svake od tačaka na liniji koje će djelovati P` i presjek točka P, i definirati pravolinijski u koordinatnom sistemu Oxyz (pravokutnog) prostor.