Klatno: period i ubrzanje formule

Video: Video lekcija iz fizike "Matematike i proljeće klatno"

Mehanički sistem koji se sastoji od materijalne tačke (tijelo), koji visi na bestežinskom inextensible filament (njegova masa je zanemariva u odnosu na težinu tijela) u uniformi gravitacionom polju, koji se zove matematičkog klatna (drugo ime - oscilator). Postoje i druge vrste uređaja. Umjesto filament bestežinskom štap se može koristiti. Klatno može jasno otkriva suštinu mnogo zanimljivih pojava. Kada mala amplituda vibracije svog kretanja se zove harmonika.

Opće informacije o mehaničkom sistemu

Formulu oscilacija perioda klatna je uzgajan Holandski naučnik Huygens (1629-1695 gg.). Ovaj savremeni Isaac Newton je bio vrlo drag mehaničkih sistema. 1656. stvorio je prvi sat sa mehanizmom klatna. Oni mjerili vrijeme s ekstremnom preciznošću za tim vremenima. Ovaj izum je bio veliki korak u razvoju fizičkih eksperimenata i praktične aktivnosti.

Ako je klatno u položaja ravnoteže (visi vertikalno), u gravitacija je uravnotežena silom napetosti konca. Stan klatno na ne-rastezljiv prediva je sistem sa dva stepena slobode komunikacije. Kada se mijenja samo jedna komponenta promjene karakteristika svih njenih dijelova. Na primjer, ako je nit je zamijenjen štap, onda to mehanički sistem je samo 1 stupanj slobode. Šta je, onda, svojstva matematičkog klatna? U ovom jednostavnom sistemu, pod uticajem periodične perturbacije, pojavljuje haos. U tom slučaju, kada se suspenzija trenutku ne kreće, a oscilira klatno postoji nova položaja ravnoteže. Ako brze oscilacije gore-dolje to mehanički sistem postaje stabilnu poziciju "naopako". Ona ima i svoje ime. To se zove Kapice klatno.

Svojstva klatna

Klatno ima vrlo zanimljiva svojstva. Svi oni su podržani od strane dobro poznatih fizičkih zakona. Period oscilacija klatna bilo kojeg drugog ovisi o različitim okolnostima kao što su veličina i oblik tijela, udaljenost između tačke suspenzije i težišta, distribucija težine u odnosu na tom pitanju. To je razlog zašto je definicija visi perioda tijelo je prilično izazovno. Mnogo je lakše izračunati period jednostavnog klatna, čija je formula dat je u nastavku. Kao rezultat posmatranja ovih obrazaca može se postaviti na sličnim mehaničkim sistemima:

• Ako je, uz zadržavanje iste dužine klatna, suspendovan iz različitih opterećenja, period oscilacija dobiti isti, iako je njihova težina će znatno varirati. Shodno tome, period klatna ne zavisi od težine tereta.

• Ako se sistem počne da opada u klatno nije prevelika, ali različitih uglova, to će varirati u istom periodu, ali u različitim amplitudama. Dok odstupanja od centra ravnoteže nije previše velike oscilacije u formi će biti dovoljno blizu harmonika. Period takve klatna ne zavisi od vibracije amplitude. Ova nekretnina mehaničkih sistema se zove isochronism (na grčkom "Chronos" - put "Izosov" - jednaka).

Period jednostavan klatno

Ova brojka predstavlja prirodni period oscilacija. Uprkos kompleks formulacija, sam proces je vrlo jednostavan. Ako je dužina prediva matematičkog klatna L, a gravitaciono ubrzanje g, ova vrijednost je jednaka:

T = 2&okviru pionira&radic-L / g

Mali period od prirodnih oscilacija ni na koji način ne zavisi od mase klatna i amplituda oscilacije. U ovom slučaju, kao matematičkog klatna kreće sa smanjenim dužine.

Oscilacije matematičkog klatna

Matematičkog klatna oscilira, koji se može opisati jednostavnim diferencijalne jednadžbe:

Video: Demo verzija OGE 2017. u matematici, problem 20

x + &omega-2 sin x = 0,

gdje je x (t) - nepoznata funkcija (ovog ugla ugiba iz donjeg položaja ravnoteže u vremenu t, izražen u radijanima) - &omega - pozitivna konstanta koja se određuje od parametara klatna (&omega = &radic-g / L, gdje je g - ubrzanje gravitacije, i L - dužina jednostavnog klatna (suspenzija).

Jednadžbu male oscilacije u blizini položaja ravnoteže (harmonika jednadžba) kako slijedi:

x + &omega-2 sin x = 0

Oscilatorno kretanje klatna

Pendulum, što čini male oscilacije, kreće sinusoida. Drugi diferencijal bi jednadžba zadovoljava sve zahtjeve i parametara takav pokret. Da bi se odredio put morate da podesite brzinu i koordinate, koje je kasnije utvrđeno nezavisne konstante:

x = A sin (&theta-₀ + &omega-t),

gdje &theta-₀ - početnoj fazi, A - amplituda oscilacija, &omega - ciklični frekvencija određuje iz jednadžbe kretanja.

Klatno (formula za velike amplitude)

Ovaj mehanički sistem, obavljaju svoje oscilacije sa velikim amplituda, to je predmet do složenijih saobraćajnih zakona. oni se računaju po formuli za takvu klatno:

sin x / 2 = U * SN (&omega-t / u),

gdje sn - sine Jacobi, koji for u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (&epsilon- + &omega-2) / 2&omega-2,

gdje &epsilon- = E / LVO2 (LVO2 - energija klatna).

Određivanje nelinearne oscilacije perioda klatna po formuli:

T = 2&okviru pionira /&omega,

gdje &omega = &okviru pionira / 2 * &omega / 2K (u), K - eliptične integral, &okviru pionira - 3.14.

klatno kretanje separatrix

To se zove separatrix putanju dinamičkog sistema, u kojem dvodimenzionalnom faznom prostoru. Klatno se kreće na ne-periodično. U beskrajno daleko trenutku padne od ekstremne gornji položaj prema nultoj brzini, a zatim se postepeno dobija. On je na kraju prestao, vraća u svoj prvobitni položaj.

Ako amplituda oscilacija klatna prilazi broj &okviru pionira, to ukazuje na to da je kretanje u ravni faza je blizu separatrix. U ovom slučaju, pod djelovanjem malog periodičnog pokretačka snaga mehaničkih sistema ispoljava haotično ponašanje.

U slučaju jednostavnog klatna iz položaja ravnoteže pod uglom &filozofija javlja tangencijalna sila F gravitacije&tau- = -MG sin &filozofija. "Minus" znak znači da je tangencijalna komponenta usmjerena u suprotnom smjeru od smjera odstupanja klatna. Kada se govori preko klatno raseljavanje x duž kružni luk sa radijusom L je jednaka njegovoj kutni pomak &filozofija = x / L. Drugi zakon Isaac Newton, dizajniran za projekciju ubrzanja vektora i snagu daju željenu vrijednost:

mg &tau- = F&tau- = -MG sin x / L

na taj odnos zasnovan, jasno je da je klatno nelinearni sistem, kao sila koja teži da se vrati u svoju položaja ravnoteže, nije uvijek proporcionalna raseljavanje x, a sin x / L.

Tek kada je matematičkog klatna obavlja male vibracije, to je harmonijski oscilator. Drugim riječima, to postaje mehanički sistem sposoban za obavljanje harmonika oscilacije. Ova aproksimacija vrijedi za gotovo uglove 15-20 °. Klatno sa velikim amplitudama nije harmoničan.

Njutnov zakon za male oscilacije klatna

Ako je mehanički sistem obavlja malim oscilacijama, 2. Njutnov zakon će izgledati ovako:

mg &tau- = F&tau- = -m * g / L * x.

Video: Alternativa izvođenje oscilacija perioda proljeća klatno

Na osnovu toga, možemo zaključiti da je tangencijalno ubrzanje jednostavnog klatno je proporcionalan zapremine sa znakom "minus". To je stanje u kojem sistem postaje harmonijski oscilator. Modul proporcionalnost faktor između raseljavanja i ubrzanje jednaka kvadratu kružna frekvencija:

&omega-02 = g / L &omega-0 = &radic- g / L.

Ova formula odražava prirodna frekvencija manjih oscilacija ove vrste klatna. Na osnovu toga,

T = 2&okviru pionira / &omega-0 = 2&okviru pionira&radic- g / L.

Video: Fizička klatno.

Proračuni na osnovu zakona očuvanja energije

Svojstva oscilatorno kretanje klatna može se opisati uz pomoć zakona o održanju energije. Treba imati na umu da potencijalna energija klatno u gravitacionom polju je:

E = mg h = mgL (1 - cos &alfa) = mgL2sin2 &alfa / 2

ukupan mehaničke energije To je jednako kinetičke i maksimalni potencijal: Epmax = Ekmsx = E

Nakon što ste napisali zakon očuvanja energije, uzimajući derivat lijeve i desne strane jednadžbe:

EP + Ek = const

S obzirom da je derivat od konstanti je jednak 0, tada (Ep + Ek) `= 0. derivat suma jednaka zbiru derivati:

Ep` = (mg / L * x2 / 2) `= mg / 2L * 2x * X` = mg / L * V + Ek` = (mv2 / 2) = m / 2 (v2)` = m / 2 * 2V * v` = mv * &alfa,

dakle:

Mg / l * XV + MVA = v (mg / L * x + m &alfa) = 0.

na posljednjoj formuli nalazimo na osnovu: &alfa = - g / L * x.

Praktična primjena matematičkog klatna

ubrzanje slobodan pad To varira sa geografske širine, jer je gustina kore širom planete nisu identični. Gdje stijene javljaju sa većom gustinom, to će biti nešto veći. Ubrzanje od matematičkog klatna se često koristi za istraživanje. U svom pomoć izgled za različite minerale. Jednostavno broji oscilacije klatna, moguće je otkriti uglja ili rude u utrobi Zemlje. To je zbog činjenice da ovi resursi imaju gustoće i težine više nego leži ispod kamenja.

Matematičkog klatna koje takva istaknuti naučnici su Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih su vjerovali da je mehanički sistem može utjecati na sudbinu i život. Arhimed koristi matematičkog klatna sa svojim proračunima. Danas su mnogi okultisti i vidovnjaci koriste ovaj mehaničkog sistema za realizaciju svojih proročanstava, ili potraga za nestalima.

Poznati francuski astronom i znanstvenik, Flammarion za svoja istraživanja koristi matematičku klatno. On je tvrdio da uz njegovu pomoć bio je u stanju da predvidi otkriće novog planeta, pojava Tunguske meteorita, i druge važne događaje. Tokom Drugog svjetskog rata u Njemačkoj (Berlin) radio je kao specijalizirani institut klatna. Danas takva istraživanja nije dostupan Minhenu Institut parapsihologije. Njegov rad s klatno osoblja ove ustanove pod nazivom "radiesteziey".