Neodređeni integral. Proračun neodređeni integrali

Jedan od osnovnih sekcija matematičke analize je integralni račun. To pokriva vrlo široko polje objekata, gdje je prvi - to je neodređeni integral. Pozicija stoji kao ključ koji je još u srednjoj školi otkriva sve veći broj perspektive i mogućnosti, koji opisuje više matematike.

izgled

Na prvi pogled, čini se potpuno sastavni moderan, aktuelan, ali u praksi se ispostavilo da je on vratio u 1800 prije nove ere. Dom službeno smatra Egipat kao nije nas ranije dokaze o njegovom postojanju. To zbog nedostatka informacija, sve dok postavljeni samo kao fenomen. On je još jednom potvrđuje nivo naučnog razvoja naroda tog vremena. Konačno, pronađeni su djela starogrčkih matematičara, koja datira iz 4. stoljeća prije Krista. Oni opisuju metoda koja se koristi u kojoj je bio da se obim ili površini od krivolinijskih oblika (trodimenzionalni i dvodimenzionalnoj ravni, respektivno) neodređeni integral, čija je suština. Proračun je zasnovan na principu podjele originalne figure u beskrajno komponenti, pod uslovom da količina (područje) je već poznato da ih. Tokom vremena, metoda je narasla, Arhimed je koristio za pronalaženje područje parabole. Slične kalkulacije u isto vrijeme za obavljanje vježbe u drevnoj Kini, gdje su bili potpuno nezavisan od grčkog kolege nauke.

razvoj

Narednih proboj u KK XI stoljeća postao rad arapskih učenjaka"vagon" Abu Ali al-Basri, koji je gurnuo granice već poznato, su izvedeni iz integralne formule za izračunavanje sume iznosa i diplome od prvog do četvrtog, apliciraju za ovaj poznati nama indukcija metoda.
Umova današnjice divili drevni Egipćani stvorio izvanredan spomenika bez posebnih alata, osim onih od svoje ruke, ali se nije moć ludi naučnici vremena ni manje ni čudo? U usporedbi sa sadašnjim vremenima njihove živote čini gotovo primitivno, ali je odluka na neodređeno integrali zaključiti svuda i koriste u praksi za dalji razvoj.

Sljedeći korak je održan u XVI stoljeću, kada je italijanski matematičar Cavalieri doveo nedjeljiva metoda, koja pokupio Pierre de Fermat. Ove dvije ličnosti postavio temelje za modernu integralnog računa, koji je poznat u ovom trenutku. Vezali koncepte diferencijacije i integracije, koji su ranije bili vide kao jedinice samostalni. Sve u svemu, matematika to vreme bio fragmentiran čestice nalaze postoje sami, sa ograničenim upotrebu. Način da se ujedine i pronađu zajednički jezik bio jedini pravi u ovom trenutku, zahvaljujući njemu, moderan matematička analiza Imao sam priliku da rastu i razvijaju se.

Sa protokom vremena sve se menja i sastavni simbol kao dobro. Sve u svemu, to je bio određen naučnici koji na svoj način, na primjer, Newton koristio ikona kvadrat, što staviti integrabilna funkciju, ili jednostavno zajedno. Ova razlika je trajala sve do XVII stoljeća, kada je orijentir za čitavu teoriju matematičke analize naučnika Gottfried Leibniz uveo takav karakter nam poznate. produžen "S" To je zapravo baziran na ovo pismo Latinicom, To označava zbir kao primitivci. Ime sastavni dobila zahvaljujući Jakob Bernoulli, nakon 15 godina.

Video: Sarbasova ND Osnovne metode izračunavanja neodređeni integral

Formalni definicija

Neodređeni integral ovisi o definiciji primitivnih, pa smatramo da je na prvom mjestu.

Antiderivaciju - inverzna funkcija derivata, u praksi to se zove primitivno. Drugim riječima: primitivna funkcija d - je funkcija D, izvod od kojih je v <=> V` = v. Поиск первообразной есть вычисление неопределенного интеграла, а сам этот процесс именуется интегрированием.

primjer:

Funkcija s (y) = y³, i njegove primitivne S (y) = (y⁴/ 4).

Skup svih primitivaca funkcije - ovo je neodređeni integral, on je određen kako slijedi: &int-v (x) dx.

S obzirom na činjenicu da je V (x) - Ovo su neki od originalnih primitivne funkcije, postoji izreka: &int-v (x) dx = V (x) + C, gdje je C - konstanta. Pod konstanta se odnosi na bilo konstanta, jer je izvedena je nula.

svojstva

Svojstva koje posjeduje neodređeni integral, u suštini na osnovu definicija i svojstva derivata.
Uzmite u obzir ključne tačke:

• integral derivat je sama primitivni primitivni plus konstanta C <=> &int-V`(x)dx = V(x) + C;
• derivat integral funkcije ima prvobitnu funkciju <=> (&int-v(x)dx)` = v(x);
• konstanta je izveden iz integralne <=> &int-kv(x)dx = k&int-v(x)dx, где k - произвольно;
• integral, koji je preuzet iz suma je identično jednaka zbiru integrali <=> &int-(v(y) + w(y))dy = &int-v(y)dy +&int-w(y)dy.

Zadnja dva svojstva može se zaključiti da je neodređeni integral je linearna. Zbog toga, imamo: &int- (kV (y) dy +&int- LW (y)) dy = k&int-v (y) dy + l&int-w (y) dy.

Da biste vidjeli primjere fiksiranje rješenja neodređeni integrali.

Morate pronaći sastavni &int- (3sinx + 4cosx) dx:

• &int- (3sinx + 4cosx) dx = &INT-3sinxdx + &int-4cosxdx = 3&int-sinxdx + 4&int-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Iz primjera možemo zaključiti da ne znate kako riješiti neodređeni integrali? Samo pronaći sve primitivci! Ali potraga za principe raspravlja ispod.

Video: neodređeni integral - 5

Metode i primjeri

U cilju rješavanja integralnog, možete posegnuti za sljedeće metode:

Video: Video lekcija iz matematike "Proračun integrali - 1"

• spremni da iskoriste stola;
• integrirajući po dijelovima;
• integrirana zamjenom varijabla;
• sumirajući pod znakom diferencijala.

stolovi

Najjednostavniji i ugodan način. U ovom trenutku, matematička analiza se može pohvaliti prilično opsežne tablice, što napišete osnovne formule neodređeni integrali. Drugim riječima, postoje šabloni izvedena do vas i možete uzeti samo prednost od njih. Ovdje je popis glavnih stola pozicije, koja se može prikazati gotovo svakom slučaju, ima rješenje:

Video: Matematika bez xy% !. Integrali, deo 1. primitivno. Diferencijacija i integracija.

• &int-0DY = C, gdje je C - konstanta;
• &int-dy = y + C, gdje je C - konstanta;
• &INT-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (N + 1) + C, gdje je C - konstanta, a n - broj različit od jedinstva;
• &int- (1 / y) dy = ln | y | + C, gdje je C - konstanta;
• &INT-e^ydy = e^y + C, gdje je C - konstanta;
• &INT-k^ydy = (k^y/ Ln k) + C, gdje je C - konstanta;
• &int-cosydy = siny + C, gdje je C - konstanta;
• &int-sinydy = -cosy + C, gdje je C - konstanta;
• &int-dy / cos²y = TGY + C, gdje je C - konstanta;
• &int-dy / sin²y = -ctgy + C, gdje je C - konstanta;
• &int-dy / (1 + y²) = Arctgy + C, gdje je C - konstanta;
• &int-chydy = stidljiva + C, gdje je C - konstanta;
• &int-shydy = chy + C, gdje je C - konstanta.

Ako je potrebno, napraviti nekoliko koraka dovesti integrand za tabelarni prikaz i uživajte u pobjedu. primjer: &int-cos (5x -2) dx = 1/5&int-cos (5x - 2) D (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Prema odluci, jasno je da na primjer sto integrand nedostaje multiplikator 5. dodamo paralelno sa ovom Množenje sa 1/5 na opšti izraz nije mijenjao.

Integracija po dijelovima

Razmislite o dvije funkcije - Z (y) i x (y). Oni moraju biti neprekidno diferencijabilna na svojoj domeni. U jednom diferencijacija svojstva imamo: D (XZ) = XDZ + Zdx. Integracija obje strane, dobijamo: &int-a (XZ) = &int- (XDZ + Zdx) => zx = &INT-Zdx + &INT-XDZ.

Prepisivanjem rezultat jednadžbe, dobijamo formulu koja opisuje metodu parcijalne integracije: &int-Zdx = ZX - &INT-XDZ.

Zašto je to potrebno? Činjenica da su neki od primjera moguće je da se pojednostavi, recimo, da se smanji &INT-Zdx u &int-XDZ, ako je ovo drugo u neposrednoj blizini formi tabelarnog. Također, ova formula se može koristiti više puta, za optimalne rezultate.

Kako riješiti neodređeni integrali na ovaj način:

• potrebno je izračunati &int- (s + 1) e^2sds

&int- (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, DZ = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2&INT-e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• potrebno je izračunati &INT-lnsds

&int-lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = e, dy = ds} = SLNS - &int-e x ds / s = SLNS - &int-ds = SLNS -s + C = S (LNS-1) + C.

Vraćanje varijabla

Ovaj princip rješavanja neodređeni integrali nisu ništa manje potražnje od prethodna dva, iako komplikovana. Metoda je kako slijedi: Neka V (x) - integral neke funkcije v (x). U slučaju da se samo po sebi sastavni u Primeru slozhnosochinenny dođe, vjerovatno će se zbuniti i spustiti se pogrešnim putem rješenja. Da bi se izbjegla ova promjena prakse iz varijable x z, u kojoj je opšti izraz vizualno pojednostavljen uz održavanje z ovisno o x.

Izgleda matematičkim jezikom na sljedeći način: &int-v (x) dx = &int-v (y (z)) y` (z) dz = V (z) = V (y^-1(X)), gdje je x = y (z) - izmjene. I, naravno, inverzna funkcija z = y^-1(X) u potpunosti opisuje odnos i odnos između varijabli. Važna napomena - diferencijalni dx nužno zamijeniti novim diferencijal dz, s obzirom na promjenu varijabla u neodređeni integral podrazumijeva se zamjena svuda, ne samo u integrand.

primjer:

• morate pronaći &int- (s + 1) / (e² + 2s - 5) ds

Mi izvršiti zamenu z = (s + 1) / (e²+2s-5). Onda dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s+1)ds=dz/2. В итоге получаем следующее выражение, которое очень легко вычислить:

&int- (s + 1) / (e²+2s-5) ds =&int- (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | e²+2s-5 | + C;

• morate pronaći sastavni &INT-2^ee^edx

Video: Nalazimo određeni i neodređeni integral korištenjem Mathcad

Da se riješi prepisati u sljedećem obliku:

&INT-2^ee^eds = &int- (2e)^eds.

Označimo strane = 2e (zamjena argument ovaj korak nije, ona je i dalje e), dajemo naizgled komplikovan sastavni osnovnim tabelarni oblik:

&int- (2e)^eds = &int-a^eds = a^e / Lna + C = (2e)^e / Ln (2e) + C = 2^ee^e / Ln (2 + lne) + C = 2^ee^e / (LN2 + 1) + C.

Sumirajući diferencijalni znak

Sve u svemu, ova metoda neodređeni integrali - brat blizanac princip promjene varijable, ali postoje razlike u procesu registracije. Razmotrimo detaljnije.

ako &int-v (x) dx = V (x) + C i y = z (x), a zatim &int-v (y) dy = V (y) + C.

U isto vrijeme ne smijemo zaboraviti trivijalne integralne transformacije, među kojima su:

• dx = d (x + a), i pri čemu - svaka konstanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), gdje je - konstanta ponovo, ali nije nula;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ako uzmemo u obzir opštem slučaju gdje smo izračunati neodređeni integral, primjeri se mogu podvesti pod opšte formule w` (x) dx = dw (x).

primjeri:

• morate pronaći &int- (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2 s + 3)

&int- (2s + 3)²ds = 1/2&int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

&INT-tgsds = &int-grijeha / cossds = &int-a (Coss) / Coss = -U | Coss | + C.

online pomoć

U nekim slučajevima, greška koja može postati ili lijenost, ili hitna potreba, možete koristiti online upite, odnosno da koristite kalkulator neodređeni integrali. Uprkos očiglednom složenost i kontroverzne prirode integrali, odluka je u skladu sa svojim specifičnim algoritam, koji se temelji na principu "ako ne ... onda ...".

Naravno, posebno zapetljan primjeri takvih kalkulatora neće ovladati, jer postoje slučajevi u kojima odluka mora pronaći umjetni, "prisilno" uvođenje određenih elemenata u tom procesu, jer su rezultati su očigledni načini da se postigne. Uprkos kontroverzne prirode ove izjave, to je istina, kao što je matematika, u principu, apstraktna nauka, a njen primarni cilj smatra da je potreba da se osnaži granica. Zaista, za miran rad-u teorijama je vrlo teško kretati se i razvijaju, tako da ne pretpostavljaju da je primjere rješavanja neodređeni integrali, koji nam je dao - ovo je visina mogućnosti. Ali, vratimo se na tehničku stranu stvari. Barem za provjeru proračuna, možete koristiti usluge u kojima je pisalo da nas. Ako postoji potreba za automatski obračun složenih izraza, onda oni ne moraju posegnuti za ozbiljniji softver. Treba obratiti pažnju prvenstveno na životnu sredinu MATLAB-u.

aplikacija

Odluka neodređeni integrali na prvi pogled čini potpuno odvojen od stvarnosti, jer je teško vidjeti očigledno korištenje aviona. Zaista, direktno ih koriste nigdje ne možeš, ali su neophodni srednji element u procesu povlačenja rješenja koja se koriste u praksi. Dakle, integracija leđa diferencijacije, na taj način aktivno učestvuju u procesu rješavanja jednadžbi.
S druge strane, ove jednadžbe imaju direktan utjecaj na odluku mehaničkih problema, proračun putanju i toplotne provodljivosti - ukratko, sve ono što čini sadašnjost i oblikovanju budućnosti. Neodređeni integral, primjeri koje smo smatrali gore, trivijalno samo na prvi pogled, kao osnova za obavljanje više i više novih otkrića.